Le compresseur de clim qui lache est un problème connu sur les Golf 5 (mais aussi Touran et autres modèles VAG).
Ca m'est arrivé l'été dernier ...

J'ai du lutter auprès du Service Client VW pour avoir une prise en charge partielle car en effet, y'en a pour plus de 700€, auxquels il faut ajouter la recherche de clim et la main d'oeuvre.
Bref, pas loin d'un billet de 1000€ ...

Vois déjà avec ton concessionnaire pour confirmer que c'est ça.
Ensuite, si c'est ça, voit avec le concessionnaire pour qu'il fasse une demande de prise en charge.
Elle dépendra du kilométrage, de l'année du véhicule et du fait que tu ais fait tes entretiens chez VW.
Je t'avoue que c'est pas gagné.